Linia bezstratna
W dalszych rozważaniach załóżmy częstotliwość sygnału $30\text{ MHz}$. Została ona dobrana dość wysoko jak na pasmo KF, ale dzięki temu urealnimy omówioną dalej tłumienność kabla. Teraz przyjmijmy fider o parametrach:
$$L = \boldsymbol{250}\text{ nH/m}, \,\, C = \boldsymbol{100}\text{ pF/m}, \,\, R = \boldsymbol{0}\text{ Ω/m}, \,\, G = \boldsymbol{0}\text{ S/m}$$
Mamy więc kabel bezstratny ($R = 0$ i $G = 0$) o typowych wartościach $L$ i $C$ oraz impedancji falowej $Z_0 = R_0 + \mathrm{j}X_0 = R_0 = 50\text{ Ω}$, a więc o charakterze rezystancyjnym (rzeczywistym) tzn. jego reaktancja falowa $X_0 = 0$ (składowa urojona). Charakter ten wynika ze skrócenia się jednostki urojonej $\mathrm{j}$ we wzorze (2) na $Z_0$ mające miejsce przy zerowych $R$ i $G$. W całym artykule przyjmujemy $\boldsymbol{Z_0 = R_0}$, a teoretyczne odstępstwa od tego założenia omówimy dalej.
Po obciążeniu takiej linii długiej impedancją $Z_\text{k} = R_\text{k} + \mathrm{j}X_\text{k} = R_\text{k}$, czyli również o charakterze rezystancyjnym ($X_\text{k} = 0$), równą jej impedancji falowej tzn. $Z_\text{k} = Z_0 = 50 + \mathrm{j}0\text{ Ω} = 50\text{ Ω}$, mamy dopasowanie obciążenia do linii długiej otrzymując przebieg $Z_\text{we}(x)$ pokazany na rys. 2.
Zgodnie z wcześniejszym spostrzeżeniem (4) otrzymaliśmy impedancję wejściową $Z_\text{we}(x) = Z_0$ niezależnie od długości $x$ przewodu. Jest to sytuacja identyczna z tą, gdybyśmy podłączyli $Z_\text{k}$ bezpośrednio na wyjście nadajnika (bez udziału fidera), nawet przy zmianach częstotliwości.
Naruszmy teraz warunek dopasowania $Z_\text{k} = Z_0$, niech będzie $Z_\text{k} = 100\text{ Ω}$, czyli $Z_\text{k}$ jest $2$ razy większa od $Z_0$ (rys. 3).
No i tu zaczynają się "schody" (czytaj: możliwość zaobserwowania wiele ciekawych zjawisk :-)
Najpierw rozpatrzmy interpretację opierającą się na zmiennej długości $x$ fidera.
Przy zerowej długości ($x = 0$, brak fidera) otrzymujemy łatwą do przewidzenia wartość $Z_\text{we}(0) = Z_\text{k} = 100\text{ Ω}$, co oczywiście daje $\mathit{\Phi}_\text{we}(0) = 0^\circ$. Przy zwiększaniu $x$ zmniejsza się moduł impedancji $|Z_\text{we}(x)|$ zbliżając się przy $x = 0.83\text{ m}$ do $|Z_0| = 50\text{ Ω}$, choć wówczas faza nie jest już zerowa i wynosi $\mathit{\Phi}_\text{we}(0.83) = −37^\circ$. Przy dalszym zwiększaniu długości kabla $x$ dochodzimy do $|Z_\text{we}(\lambda/4)| = 25\text{ Ω}$, gdzie $\lambda$ jest długością fali w naszej linii długiej, znowu z zerową fazą itd. w dalszym etapie otrzymując oscylacyjne zmiany $|Z_\text{we}(x)|$ co pół długości fali $\lambda$. Na podstawie tych wykresów możemy wyznaczyć $\boldsymbol{\lambda \approx 6.7\textbf{ m}}$ oraz współczynnik skrócenia $\boldsymbol{0.67}$ (długość fali w próżni przy $30\text{ MHz}$ wynosi około $10$ metrów).
Zasadniczym spostrzeżeniem są granice zmian przebiegu $|\boldsymbol{Z_\textbf{we}(x)|}$ – wg. rysunku 3 są to wspomniane wartości $Z_\text{we min} = R_\text{we min} = 25\text{ Ω}$ i $Z_\text{we max} = R_\text{we max} = 100\text{ Ω}$. A więc w tym przypadku zachodzi
$$\boxed{\mathit{SWR} = \sqrt{{R_\text{we max}} \over {R_\text{we min}}} = \sqrt{{Z_\text{we max}} \over {Z_\text{we min}}} = \left. {{Z_\text{we max}} \over {Z_0}} \right|_{Z_0=R_0} = \left. {{Z_0} \over {Z_\text{we min}}} \right|_{Z_0=R_0}} \tag{5}$$
Na rys. 3 współczynnik fali stojącej $\mathit{SWR}$ jest niezależny od długości $x$ fidera (wykresy na lewo od $x$ nie ulegają zmianie) i wynosi $\mathit{SWR} = 2$. Wynika to też ze wzorów (3) na $\mathit{\Gamma}$ i $\mathit{SWR}$, które dla linii bezstratnej nie zależą od $x$, a jedynie od $Z_0$ i $Z_\text{k}$. Okazuje się, że po podstawieniu w nich $Z_\text{k} = Z_\text{we}(x)$, wyliczony z tych wzorów $\mathit{SWR}$ wciąż będzie niezależny od $x$. Na wykresie Smitha jest to tzw. okrąg stałego $|\mathit{\Gamma}|$. Oznacza to, że zasadniczo miernik fali stojącej (reflektometr) powinien wskazywać poprawny $\mathit{SWR}$ niezależnie od miejsca jego załączenia np. przy antenie lub przy nadajniku. W praktyce jednak wskazania reflektometru mogą nieco zależeć od $x$ w wyniku istnienia składowej współbieżnej fali fidera np. w asymetrycznej antenie FD4.
Zatrzymajmy się na chwilę na praktycznych dla krótkofalowca aspektach fali stojącej.
Zasadniczo istnienie fali stojącej w fiderze nie musi być zjawiskiem negatywnym. Niektóre anteny np. G5RV i Doublet, projektowo mają taką falę stojącą w części lub w całym fiderze w celu dopasowania do anteny. Do niekorzystnych skutków istnienia fali stojącej w fiderze można zaliczyć nieco większe straty w linii (głównie na wyższych częstotliwościach), które zmniejsza się stosowaniem możliwie bezstratnych fiderów np. kabli koncentrycznych o dużej średnicy, symetrycznych drabinek. Ponadto fala stojąca może być powodem promieniowania elektromagnetycznego fidera, które może objawiać się jako zakłócenia TVI. Tutaj linie symetryczne dobrze tłumią takie promieniowanie.
Załóżmy sytuację istnienia fali stojącej w fiderze tzn. $\mathit{SWR} > 1$. Objawia się to zmianami $Z_\text{we}(x)$ wraz ze zmianą $x$. Jeśli dla ustalonego $x$ dopasujemy $Z_\text{we}(x)$ do optymalnej rezystancji obciążenia nadajnika $R_\text{nad}$ za pomocą idealnej skrzynki antenowej, cała rzeczywista moc wyjściowa nadajnika np. $100\text{ W}$, zostanie przekazana do fidera. Jeśli fider będzie bezstratny (można tak przyjąć na niższych pasmach KF), cała ta moc zostanie wypromieniowana w eter, choć niestety w części może odbyć się to przez fider jak np. w przypadku anteny FD4. Jeśli jednak fider nie będzie promieniował (symetryczna drabinka w antenie Doublet), cała moc nadajnika przejdzie do $R_\text{k}$ mimo iż może być $X_\text{k} \neq 0$. Wynika to z prawa zachowania energii zrealizowanego dopasowaniem przez fider. Wówczas dla idealnej anteny moc wypromieniowana będzie równa całe $100\text{ W}$.
Powracając do rys. 3 zauważmy, że $Z_\text{we}(x)$ ma charakter rezystancyjny jedynie przy długości fidera równej wielokrotności $\lambda/4$ tzn. dla $x = x_n = n\lambda/4$, gdzie $n = 0,\,1,\,2,\,\ldots\,$ jest liczbą naturalną. Jedynie wówczas reaktancja $X_\text{we}(x_n) = 0\text{ Ω}$ (wykres czerwony), więc też faza $\mathit{\Phi}_\text{we}(x_n) = 0^\circ$ (zielony), a nadajnik obciążony jest rezystancją (niebieski) o jednej z dwóch wspomnianych granicznych wartościach $25$ lub $100\text{ Ω}$. Niestety, nie ma wśród nich wartości $Z_0 = 50\text{ Ω}$ :-(
Bardzo ważną własnością linii długiej jest fakt, że przy parzystych $n$ tzn. przy wielokrotnościach $\lambda/2$, zachodzi $Z_\text{we}(x_{2n}) = Z_\text{k}$. Oznacza to, że z punktu widzenia nadajnika dla takiej wynikającej z tego siatki częstotliwości fider jest "przezroczysty" tak, jakbyśmy podłączyli $Z_\text{k}$ wprost do nadajnika. Jednak fizycznie fider nadal istnieje mając falę stojącą (na rys. 3 jest niezmiennie $\mathit{SWR} = 2$), która może generować promieniowanie elektromagnetyczne powodując zakłócenia TVI.
I tu na chwilę przejdźmy do interpretacji rys. 1 opierającej się na obserwacji fali stojącej w punkcie $x$ fidera mającego długość większą od $x$ np. na rys. 3 może to być fider o nieistotnej dla nas długości przekraczającej zakres tego rysunku np. $15$ metrów.
Z rys. 3 wynika, że fala stojąca obciąża swoje źródło zasilania w sposób rezystancyjny jedynie w swych strzałkach i węzłach tzn. w punktach $\boldsymbol{x = x_n}$. Natomiast dla $x \neq x_n$ fala stojąca obciąża swe źródło zasilania również niezerową reaktancją $X_\text{we}$. Ważnym spostrzeżeniem jest fakt, że w obszarze $\boldsymbol{x \neq x_n}$ przesunięcie fazy między napięciem $\boldsymbol{u(x)}$, a prądem $\boldsymbol{i(x)}$ fidera wyrażone fazą $\boldsymbol{\mathit{\Phi}_\textbf{we}(x)}$ zawiera się w przedziale od $\boldsymbol{−90^\circ}$ do $\boldsymbol{+90^\circ}$. Jest to o tyle istotne, że jednocześnie jest to przedział możliwych wartości fazy $\mathit{\Phi}_\text{k}$, co umożliwia "dostosowanie" się przebiegów w linii do dowolnego jej obciążenia realizując fazowy warunek brzegowy linii długiej. Omówimy to szerzej na jednym z kolejnych wykresów.
Tak na marginesie, nie należy mylić fazy $\mathit{\Phi}_\text{we}(x)$ odnoszącej się do zadanego punktu $x$ linii długiej, z przesunięciem fazy między strzałkami napięcia, a strzałkami prądu tej linii. W tym drugim przypadku zawsze jest $\pm90^\circ$.
Nasuwa się pytanie, co z powyższych obserwacji wynika dla krótkofalowca?
Najważniejszym praktycznym wnioskiem jest fakt, że przy niedopasowaniu $\boldsymbol{Z_\textbf{k}}$ do $\boldsymbol{Z_0}$ (anteny do fidera) zmieniając długość $\boldsymbol{x}$ fidera możemy albo dopasować $\boldsymbol{|Z_\textbf{we}(x)|}$ do optymalnej rezystancji obciążenia nadajnika $\boldsymbol{R_\textbf{nad}}$ albo wyzerować fazę $\boldsymbol{\mathit{\Phi}_\textbf{we}(x)}$, ale nie obie te rzeczy jednocześnie. Najprostszym tego wyjaśnieniem jest fakt, że zmianą długości $x$ fidera (tylko jeden parametr) próbujemy dopasować aż dwa niezależne parametry tzn. moduł $|Z_\text{we}(x)|$ i fazę $\mathit{\Phi}_\text{we}(x)$. Inaczej jest np. w skrzynkach antenowych posiadających co najmniej dwie niezależne regulacje (przełącznik indukcyjności i pokrętło pojemności).
Jakie są tego praktyczne konsekwencje?
Nierówność $\boldsymbol{|Z_\textbf{we}(x)| \neq R_\textbf{nad}}$ nawet mimo $\boldsymbol{\mathit{\Phi}_\textbf{we}(x) = 0^\circ}$ jest przeciążeniem napięciowym lub prądowym nadajnika tzn. przekraczamy dopuszczalne napięcie lub prąd wyjściowy jego końcówki mocy, co w przypadku braku zabezpieczeń może doprowadzić do jego uszkodzenia.
Natomiast sytuacja $\boldsymbol{|Z_\textbf{we}(x)| = R_\textbf{nad}}$ oraz $\boldsymbol{\mathit{\Phi}_\textbf{we}(x) \neq 0^\circ}$ (na rys. 3 np. przy $x = 0.83\text{ m}$), stanowi tzw. trudne obciążenie zamieniające konstrukcyjną prostą pracy stopnia końcowego (lamp lub tranzystorów) na krzywą kształtem zbliżoną do elipsy (patrz krzywe Lissajous). Może to powodować pobór maksymalnego chwilowego prądu wyjściowego (na razie wszystko OK), ale w niewygodnych dla nadajnika chwilach okresu, kiedy to jego chwilowe napięcie wyjściowe jest dość niskie (czyli duże napięcia anodowe lub kolektora, sytuacja niezbyt OK). Może to zwiększyć moc strat (temperaturę) w lampach lub tranzystorach końcowych, a ponadto może to być ponad możliwości wzmocnienia prądowego stopni wzmacniacza, co doprowadzi do jego przesterowania. Termicznie sytuacja ta jest podobna do pracy liniowego zasilacza o regulowanym stałym napięciu wyjściowym, przy ustawieniu tego napięcia na dość niskim poziomie – wówczas tranzystory mocy tego zasilacza mogą być termicznie znacznie obciążane.
Nadajnik o znamionowej mocy np. $100\text{ W}$, może wtedy oddawać moc pozorną $S_\text{nad} = 100\text{ VA}$, ale moc czynna $P_\text{nad}$ będzie mniejsza od $100\text{ W}$, gdyż będzie niezerowa moc bierna $Q_\text{nad}$. Wynika to z ogólnej zależności: $S^2 = P^2 + Q^2$.
W szczególności nie zalecam załączania na wyjście nadajnika kondensatora mającego reaktancję $|X_\text{C}| = R_\text{nad}$. Jest to skrajnie trudne obciążenie, gdyż taki kondensator pobiera chwilowy prąd znamionowy przy chwilowym napięciu akurat przechodzącym przez wartość $0\text{ V}$. Wówczas też nadajnik oddaje tylko moc bierną, czyli dla typowego nadajnika $100\text{ W}$ jest $S_\text{nad} = Q_\text{nad} = 100\text{ VA}$ oraz moc czynna $P_\text{nad} = 0\text{ W}$.
Oczywiście, gdy jednocześnie jest $|Z_\text{we}(x)| \neq R_\text{nad}$ i $\mathit{\Phi}_\text{we}(x) \neq 0^\circ$, sytuacja jest najgorsza.
Jednak skrzynka antenowa łatwo radzi sobie z trudnym obciążeniem i przeciążeniem ukrywając ten problem przed nadajnikiem, choć może przekładać się to na podwyższone napięcia lub prądy w skrzynce. Jednak zmianą długości fidera możemy na poszczególnych pasmach obciążać skrzynkę bardziej przyjazną impedancją, co ułatwi jej zadanie. Wysoka wartość $\mathit{SWR} = 10$ może przykładowo oznaczać $|Z_\text{we}(x)| = 5$ lub $500\text{ Ω}$. Dla wielu skrzynek obciążenie $5\text{ Ω}$ jest poza ich zasięgiem (generalnie amatorskie skrzynki nie lubią niskich impedancji), natomiast większość skrzynek spokojnie poradzi sobie z $500\text{ Ω}$, co można osiągnąć właśnie stosowną długością fidera.
Nie będziemy rozstrzygać kwestii, czy zasilanie systemu antenowego w punktach $x_n$ jest korzystniejsze, co preferują zwolennicy posiadania fidera o długości równej wielokrotności $\lambda/4$, a najlepiej $\lambda/2$. Jednak jak wcześniej zauważyliśmy, dobór takiej długości fidera nie wpływa na wielkość jego fali stojącej (na rozkład napięć i prądów wzdłuż przewodu), a tym samym na jego $\boldsymbol{\mathit{SW\!R}}$. Również jak zauważyliśmy na wstępie artykułu, przy dopasowaniu $Z_\text{k} = Z_0$ długość fidera nie ma kompletnie żadnego znaczenia.
Z rys. 3 możemy też wywnioskować ciekawą analogię występującą na zaciskach wejściowych anten (bez fidera) w rezonansie. Uprawnia nas do tego fakt, że promieniujący przewód anteny np. LW, jest niejako również linią długą, ale rozwartą na końcu i posiadającą straty głównie promieniowania (nie $R$ i $G$ w sensie powyższym). Zatem analogia ta to: dipol i LW to rezystancja $R_\text{k}$, natomiast FD4 to trudne obciążenie z $X_\text{k} \neq 0\text{ Ω}$. Kwestię obciążenia linii długiej impedancją zespoloną (a dokładniej trudnym obciążeniem) omówimy dalej.
Również interesująca analogia jest w technice audio, gdzie niektóre kolumny głośnikowe reprezentujące takie trudne obciążenie powodują szybsze wpadanie wzmacniacza w zniekształcenia i przesterowanie (tu nie ma skrzynki antenowej ;-) Temat trudnego obciążenia jest jednym z podstawowych we wszelkich recenzjach kolumn głośnikowych. Ale bez obawy, nie będziemy tu analizować wpływu charakteru impedancji anteny na zawartość basów w SSB ;-)
Zobaczmy teraz co się stanie, jeśli zwiększymy $Z_\text{k}$ do wartości np. $500\text{ Ω}$ (rys. 4).
Widzimy, że wykresy uległy jakby pogłębieniu. Powiększmy pierwsze minimum $|Z_\text{we}(x)|$.
Widzimy, że otrzymaliśmy zakres zmian $|Z_\text{we}(x)|$ od $5$ do $500\text{ Ω}$. Potwierdza się zatem wyrażenie (5). Teraz zmniejszmy $Z_\text{k}$ do $25\text{ Ω}$.
Otrzymaliśmy wykresy przesunięte o $\lambda/4$ względem rys. 3. Granice zmian $|Z_\text{we}(x)|$ wynoszą również $25$ i $100\text{ Ω}$ oraz potwierdza się (5).
Rys. 7 podsumowuje dotychczasowe nasze obserwacje w postaci animacji z parametrem $Z_\text{k}$. Przy $Z_\text{k}$ zbliżonym do $Z_0$ impedancja $Z_\text{we}(x)$ reprezentowana jest głównie przez $R_\text{we}(x)$ (wykres niebieski zbliża się do czarnego). Skrajne wartości $Z_\text{k}$ znacznie zbliżają się do klasycznych granicznych przypadków linii długiej zwartej ($Z_\text{k} = 0\text{ Ω}$) i rozwartej na końcu ($Z_\text{k} \rightarrow \infty$). Wówczas przebieg $\mathit{\Phi}_\text{we}(x)$ (zielony) istotnie zbliża się kształtem do prostokątnego $\pm90^\circ$. W wyniku tego zanika $R_\text{we}(x)$ (niebieski) przybierając kształt szpilek, a $X_\text{we}(x)$ zaczyna decydować o całości $Z_\text{we}(x)$ (wykres czerwony przybliża się do czarnego).
Dotychczas przyjmowaliśmy impedancję obciążenia linii długiej $Z_\text{k} = R_\text{k}$, czyli o charakterze rezystancyjnym ($X_\text{k} = 0\text{ Ω}$). Również założyliśmy linię o rezystancyjnym charakterze impedancji falowej tzn. $Z_0 = R_0$. Zatem równość $|Z_\text{k}| = |Z_0|$ była równoważna $Z_\text{k} = Z_0$, która w prosty sposób wyjaśniała wykres linii prostej na rysunku 2.
Przyjmijmy teraz $Z_\text{k} = 30 + \mathrm{j}40\text{ Ω}$, co przy częstotliwości $30\text{ MHz}$ równoważne jest szeregowemu połączeniu $R_\text{k} = 30\text{ Ω}$ i $L_\text{k} = 212\text{ nH}$. W dalszym ciągu mamy $|Z_\text{k}| = 50\text{ Ω}$, czyli spełniony warunek $\boldsymbol{|Z_\textbf{k}| = |Z_0|}$. Niestety nie jest spełniona równość $\boldsymbol{Z_\textbf{k} = Z_0}$, zatem o wspomnianej linii prostej mowy być nie może (rys. 8), co wynika wprost z rys. 1a. W tym przypadku to $Z_\text{k}$ możemy określić mianem trudnego obciążenia, ale dla fidera.
Mamy tu $\mathit{SWR} = 3$, co potwierdza wzór (3). Podobny jak na rys. 8 przypadek wystąpi przy zespolonym charakterze $Z_0$ i rezystancyjnym $Z_\text{k}$.
W szczególności nie zalecam załączania na końcu linii długiej kondensatora o $X_\text{C} = |Z_0|$, bo wtedy przy urojonym obciążeniu ($R_\text{k} = 0\text{ Ω}$) zawsze będzie $\mathit{SWR} \rightarrow \infty$ (odbicie fali w $100\%$), co łatwo zweryfikować wzorami (3).
Również na rys. 8 przy $x$ równym wielokrotności $\lambda/2$ fider wiernie przenosi na swe wejście impedancję obciążenia tzn. zachodzi $Z_\text{we}(n\lambda/2) = Z_\text{k}$. Jesteśmy też w stanie dobrać tak długość $x$ fidera, aby $Z_\text{we}(x)$ miało charakter rezystancji – są to punkty $x$ oddalone od siebie o $\lambda/4$, ale już przesunięte względem końca fidera i punktów np. z rys. 3. Przesunięcie to wynika z fazowego warunku brzegowego, który nakazuje zrównanie się fazy $\mathit{\Phi}_\text{we}(0)$ z fazą $\mathit{\Phi}_\text{k}$. W obu tych przypadkach zmiana długości fidera nie zmienia ani trochę jego fali stojącej – $\mathit{SWR}$ wciąż jest dokładnie równy $3$.
Jak dalej zobaczymy, strojenie anteny do fidera najczęściej polega na realizacji równości $Z_\text{k} = Z_0$ przez zrównanie $R_\text{k} = R_0$ i wyzerowanie $X_\text{k}$. Nie jest to jednak regułą, gdyż istnieją anteny np. FD4, które w swym rezonansie mimo $|Z_\text{k}| = 50\text{ Ω}$ (na zaciskach baluna) mają $X_\text{k} \neq 0\text{ Ω}$, więc stanowią trudne obciążenie. Powoduje to, że zgodnie z rys. 1a taka FD4 zawsze generuje falę stojącą w fiderze (nie mówimy o prądach współbieżnych, to oddzielna kwestia). Prawdopodobnie właśnie przez taką cechę anteny te potocznie nazywane są nierezonansowymi mimo iż np. FD4 faktycznie posiada w swych ramionach rezonans fali identyczny jak w dipolu symetrycznym (na końcach strzałki napięcia, a w środku strzałka prądu).
Trzeba zaznaczyć, że warunek $Z_0 = R_0$ występuje zawsze w linii bezstratnej. Dla linii tej
$$\boxed{Z_0 = \sqrt{L \over C}} \tag{6}$$
Dla linii stratnej warunek ten ma miejsce przy
$$Z_0 = \sqrt{L \over C} = \sqrt{R \over G} \tag{7}$$
W obydwu powyższych przypadkach mamy do czynienia z tzw. linią nie zniekształcającą zdolną do wiernego przenoszenia sygnałów impulsowych np. danych cyfrowych. W celu osiągnięcia (7), często stosuje się sztuczne zwiększenie jednostkowej $L$, a czynność ta nosi nazwę pupinizacji linii (nie dotyczy omawianej tu techniki antenowej). Jednak dalej zobaczymy, że przy dostatecznie małych wartościach $R$ i $G$, zależność (7) nie musi być spełniona.