Impedancja wejściowa linii długiej

Przedstawiam nową odsłonę mojego artykułu sprzed 18 lat o impedancji wejściowej linii długiej. Temat zjawisk zachodzących w fiderze nigdy się nie starzeje. W obecnej wersji artykułu uwzględniłem fazę, odnowiłem rysunek i wykresy, dodałem wykresy 3D i animację, przeformatowałem wzory i przeredagowałem cały tekst. Zapraszam do lektury :-)

Omówimy zjawiska zachodzące w fiderze mogące zainteresować krótkofalowca – praktyka. Nie będziemy więc analizować napięć i prądów wzdłuż linii długiej, ale skupimy się na jej impedancji wejściowej. Ma to bezpośredni wpływ na pracę nadajnika.

Przeanalizujemy impedancję wejściową $Z_\text{we}$ linii długiej o impedancji falowej $Z_0$ w zależności od impedancji końcowej $Z_\text{k}$ (obciążenia np. anteny) oraz długości linii $x$ (rys. 1).

Rysunek 1 można interpretować dwojako:

1. Oznaczenie $x$ to długość fidera. Dobierając $x$ np. skracając kabel, w pewnych warunkach możemy zmieniać $Z_\text{we}$ całego schematu z rys. 1. Podejście to umożliwi nam poznanie wpływu długości fidera na impedancję widzianą przez nadajnik.
2. Oznaczenie $x$ to punkt fidera o nieistotnej dla nas długości większej od $x$. Takie podejście pozwoli przeanalizować stosunek napięcia do prądu w dowolnym punkcie $x$ linii długiej. Dzięki temu poznamy interesujące właściwości fali stojącej, występujące również w promiennikach anten, ale też szerzej np. w akustyce.

Wyrażenie określające impedancję wejściową $\boldsymbol{Z_\textbf{we}}$ układu z rysunku 1 przedstawia się następująco [1]

$$\boxed{Z_\text{we}(x) = Z_0 {{Z_\text{k}+Z_0\tanh(\gamma x)} \over {Z_\text{0}+Z_\text{k}\tanh(\gamma x)}}} \tag{1}$$

gdzie $x$ jest odległością w metrach badanych zacisków wejściowych od końca linii, a

$$Z_0 = \sqrt{{R+\mathrm{j}\omega L} \over {G+\mathrm{j}\omega C}} \quad \gamma = \sqrt{(R+\mathrm{j}\omega L)(G+\mathrm{j}\omega C)} \tag{2}$$

impedancją falową $\boldsymbol{Z_0}$ linii oraz jej stałą propagacji $\boldsymbol{\gamma}$ (małe gamma). Nie będziemy się dalej zajmować stałą propagacji.

Jak widać, linię długą można przedstawić przy pomocy czterech parametrów rozłożonych:

$R\text{ [Ω/m]}$ – rezystancja jednostkowa razem obu przewodów linii np. środkowej żyły i ekranu kabla koncentrycznego,
$G\text{ [S/m]}$ (simens/metr) – konduktancja jednostkowa pomiędzy oboma przewodami linii (upływność izolacji) np. między środkową żyłą, a ekranem,
$L\text{ [H/m]}$ – indukcyjność jednostkowa razem obu przewodów linii np. środkowej żyły i ekranu,
$C\text{ [F/m]}$ – pojemność jednostkowa między oboma przewodami linii np. między środkową żyłą, a ekranem.

W praktyce łatwo można wykonać pomiar $L$ i $C$ zwykłym multimetrem (niska $f$ pomiaru) podłączonym na wejście linii: przy pomiarze $L$ linię na końcu zwieramy, natomiast przy pomiarze $C$ rozwieramy. Następnie oba wyniki dzielimy przez długość tak zmierzonego odcinka linii $x$ w metrach.

Zapoznajmy się jeszcze z wzorami na współczynnik odbicia $\boldsymbol{\mathit{\Gamma}}$ (duże gamma) i współczynnik fali stojącej $\boldsymbol{\mathit{SW\!R}}$:

$$\mathit{\Gamma} = {{Z_\text{k}-Z_0} \over {Z_\text{k}+Z_0}} \quad \boxed{\mathit{SWR} = {{1+|\mathit{\Gamma}|} \over {1-|\mathit{\Gamma}|}}} \tag{3}$$

Na rysunkach 1a i 1b możemy "zobaczyć" wzory (3). Wynika z nich między innymi, że każda odchyłka $X_\text{k}$ od zerowej wartości jest z punktu widzenia $\mathit{SWR}$ nie do "odratowania" tzn. nie można już jej zniwelować doborem $R_\text{k}$.

Spokojnie, nie będziemy dowodzić i jakoś specjalnie analizować powyższych wzorów, z pomocą przyjdą nam opierające się na wzorze (1) wykresy. Jednak nie będą to dedykowane do tego celu wykresy Smitha, ale pozostaniemy przy prostokątnym układzie współrzędnych, naturalniejszym dla obserwacji najprostszych zależności.

A zatem jak ma się wzór (1) do praktyki krótkofalarskiej?

Przede wszystkim zauważmy, że przy $\boldsymbol{Z_\textbf{k} = Z_0}$ np. dopasowaniu anteny do fidera, wyrażenie (1) przekształca się do postaci

$$\boxed{Z_\text{we}(x) = Z_0} \tag{4}$$

Wówczas impedancja wejściowa $\boldsymbol{Z_\textbf{we}(x)}$ układu z rys. 1 nie zależy od długości $\boldsymbol{x}$ fidera, czy jego tłumienia i jest równa $\boldsymbol{Z_0}$. Ponadto zgodnie z (3) zachodzi: $\mathit{\Gamma} = 0$ i $\mathit{SWR} = 1$, czyli w fiderze nie występuje fala stojąca.

Jeśli Twoja antena spełnia $Z_\text{k} = Z_0$, omawiane dalej tematy mogą nie być dla Ciebie interesujące :-( Obawiam się jednak, że w sensownym zakresie częstotliwości mało która instalacja antenowa to spełnia, więc zachęcam do kontynuacji niniejszej lektury :-)

Na wstępie krótka przypominajka liczb zespolonych.