Regresja liniowa
Zamiast powyższej odmiany dwupunktowej, zastosujmy regresję liniową
$$\Delta t = At + B$$
np. metodą najmniejszych kwadratów, do zdjętych z oscyloskopu wielu punktów $(t, \Delta t)$, gdzie: $t$ – chwila pomiaru, $\Delta t$ – odchyłka obu przebiegów. Regresja ta pozwoli w przeciągu kilkudziesięciu minut wykonać rzetelny pomiar $\delta$ z dokładnością $10^{-12}$. W odmianie tej współczynnik $A$ jest szukaną względną odchyłką $\delta$, natomiast $B$ opisuje nieistotną wstępną odchyłkę fazy (wynika z tego nieistotność obu miejsc przebiegów, względem których dokonujemy pomiarów $\Delta t$, byle tylko nie ulegały one modyfikacji).
Metodę tę objaśnię na przykładzie rzeczywistych danych pomiarowych zdjętych podczas kalibracji wzorca $f$ rubidowego $10\text{ MHz}$ typu FE-5680A o 15-to minutowej wariancji Allana na poziomie kilku $10^{-13}$ oraz dokładności temperaturowej dochodzącej do $5 \times 10^{-11}$. Jako referencję wykorzystałem skonstruowany przeze mnie (hardware + software) wzorzec czasu i częstotliwości GPS Navitel NTF-1100 (rys. 1).
NTF-1100 jest wzorcem telekomunikacyjnym $2.048\text{ MHz}$ synchronizowanym z GPS (rys. 2), podczas pomiarów ustawiony na $2.5\text{ MHz}$, o 15-to minutowej wariancji Allana w stanie Locked (synchronizacja z GPS) w zależności od skonfigurowanej klasy dokładności od $7 \times 10^{-13}$ do $5 \times 10^{-11}$. W stanie Holdover (bez zasięgu GPS) dryf fazy wynosi odpowiednio $20\text{–}150\text{ ns/h}$. Zastosowałem w nim DAC o rzadko stosowanej rozdzielczości aż $20$ bitów. Odchyłkę czasu $\text{[ns]}$ pomiędzy dwoma egzemplarzami tego wzorca we wspomnianej najgorszej klasie dokładności przedstawia rys. 3.
Podczas pomiarów wzorca rubidowego wzorzec GPS pracował w najgorszej z wymienionych wyżej klas dokładności (na rys. 2 aktywne mniejsze OCXO). Nie stanowiło to problemu, gdyż znaczenie fluktuacji fazy zostanie dalej umniejszone regresją liniową, a co ważne jak wspomniałem, w stanie Locked wzorce GPS mają praktycznie zerowy długoterminowy dryf częstotliwości i fazy.
Fragment wstępnego etapu pracy NTF-1100 pokazuje poniższy film, na którym oscyloskop został zsynchronizowany wyjątkowo do wzorca rubidowego $10\text{ MHz}$ (sinusoida). Oscyloskop ma podstawę czasu $20\text{ ns/div}$.
Przystąpmy więc do pomiaru odchyłki i kalibracji częstotliwości wzorca rubidowego. Rys. 4 pokazuje dane pomiarowe (punkty) odchyłki fazy tego wzorca względem NTF-1100 zdejmowane co $2$ minuty przez godzinę oraz wynik regresji liniowej jako prosta
$$\Delta t = - (10.1\text{ p})t + 32.7\text{ n}$$
z której wynika
$$\delta = -10.1\text{ p} \approx -10^{-11}$$
Znak ujemny oznacza, że $f$ wzorca rubidowego jest za mała.
Źródłem widocznych fluktuacji fazy (punkty) jest jednak wzorzec GPS z niezbyt dobrze umieszczoną anteną (na parapecie okna), mimo bardzo dobrej pogody. Natomiast dryf fazy (stała tendencja zmian opisana nachyleniem $A$ prostej) pochodzi od wzorca rubidowego. Jak widać z rys. 4 stosowanie podstawowego dwupunktowego wariantu metody w wielu chwilach czasu np. w $2250$ sekundzie, dawałoby wręcz dezorientację, co wiele razy doświadczałem. Zastosowanie zaś regresji liniowej daje pewny wynik pomiarowy. Co więcej, z powyższego rysunku widać, że metoda regresji ma jeszcze duży zapas dokładności za godzinę czasu pomiarowego.
Dalsze kalibrowanie wzorca rubidowego napotkało trudność związaną z mechaniczną rozdzielczością wieloobrotowego potencjometru, który musiał sprostać niemałemu wyzwaniu nastawiania z dużą względną dokładnością $1/600$ pełnego zakresu obrotów, co przekładało się na bardzo małe kąty ok. $10^\circ$ obrotu (producent tego rubida podaje gradację płynnej regulacji $1 \times 10^{-11}$ i zakres $2 \times 10^{-9}$).
Mam nadzieję, że przedstawiona w tym artykule metoda przyda się użytkownikom wysokostabilnych generatorów częstotliwości.