Moc prądu zmiennego

Przyjmuję następującą postać obu przebiegów napięciowych:

(1)

(2)

Ich faza początkowa jest identyczna. Pierwszy przebieg wydzieli na rezystancji 1 Ω moc:

(3)

Podobnie drugi:

(4)

Dalej przyjmuję

(5)

Moc całkowita na rezystancji 1 Ω, po zsumowaniu obu przebiegów napięciowych, dla okresu T₂ wynosi:

(6)

czyli

(7)

Wykres tej funkcji P_c(k) przedstawiam na rysunku 1.

Rys.1. P_c(k) po czasie k * T₁. Pomocnicza prosta P_c= 1.

Przypominam o przyjętej jednakowej fazie początkowej obu przebiegów - jest to tutaj istotne, ponieważ w szczególnym przypadku, przy przeciwnych początkowych fazach, dla k = 1 uzyskalibyśmy nie zwiększenie, a wyzerowanie mocy.

Z rys. 1 widzimy, że:

Dla k = 1 (T₂ = T₁) otrzymujemy moc 2 W. Można się było tego spodziewać, gdyż mamy zwykłe podwojenie napięcia przebiegu o tej samej częstotliwości. Moc wtedy wzrasta 4 razy (z 0,5 do 2 W).
Dla k = 1,5; 2; 2,5; 3 itd. (T₂ wzrasta k razy) mamy moc P_c= 1 W, czyli zwykłą sumę mocy P₁ i P₂.
Dla rzeczywistych k > 1 mamy oscylacje P_c tym mniejsze, im większy stosunek T lub f obu przebiegów. Jest to oczywiste, gdyż dla takiej wartości k przebieg o mniejszym okresie (T₁) nie jest całkowany po całym swym okresie. Wynikające z tego zafalowania zanikają dla wystarczająco małego T₁, czyli dużego T₂ (wyrażanego poprzez k). Praktycznie dla k > 1,5 amplituda oscylacji nie przekracza 0,2 * (P₁+ P₂).

Można odnieść wrażenie "ginięcia" mocy, lecz jej mniejsza wartość na rys.1 wynika po prostu z nie pobierania jej ze źródła.

Dokonując podobnego całkowania jak (6), ale w granicach od 0 do 10 * k * T₁:

(8)

wyliczamy P_c za 10 okresów T₂. Otrzymujemy wtedy funkcję, której przebieg przedstawiam na rysunku 2.

Rys.2. P_c(k) po czasie 10 * k * T₁.

Zauważamy tutaj wyraźne "zaostrzenie" się zasady superpozycji mocy.

Można też inaczej spojrzeć na problem mocy dwóch przebiegów. Mianowicie zwróćmy uwagę na wyrażenie podlegające całkowaniu we wzorze na P_c. Można je przekształcić do postaci:

(9)

Gdyby nam się udało wyeliminować wpływ 2sin()sin() na wynik całki to mielibyśmy zwykła sumę P_c = P₁ + P₂. Istotnie, 2sin()sin() po scałkowaniu da 0, jeśli T₁ będzie różne od T₂ (tutaj pomijam kwestię zafalowania P_c omówioną powyżej).