Audio

Moc prądu zmiennego

W celu przeanalizowania superpozycji mocy dwóch przebiegów napięciowych o różnych częstotliwościach przyjmijmy następującą postać obu tych przebiegów

$$u_1(t) = \sin \left( 2\pi\frac{t}{T_1} \right) \tag{1}$$

$$u_2(t) = \sin \left( 2\pi\frac{t}{T_2} \right) \tag{2}$$

Ich faza początkowa jest identyczna. Pierwszy przebieg wydzieli na rezystancji $1\text{ Ω}$ moc

$$P_1 = \frac{1}{T_1} \int_0^{T_1} \left[ \sin \left( 2\pi\frac{t}{T_1} \right) \right]^2 \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \tag{3}$$

Podobnie drugi

$$P_2 = \frac{1}{2} \tag{4}$$

Dalej przyjmuję

$$T_2 = k T_1 \tag{5}$$

Moc całkowita na rezystancji $1\text{ Ω}$ po zsumowaniu obu przebiegów napięciowych, dla okresu $T_2$ wynosi

$$\boxed{P_\text{c}(k) = \frac{1}{kT_1} \int_0^{kT_1} \left[ \sin \left( 2\pi\frac{t}{T_1} \right) + \sin \left( 2\pi\frac{t}{kT_1} \right) \right]^2 \mathrm{d}t} \tag{6}$$

czyli

$$P_\text{c}(k) = 1 + \frac{\sin(2k\pi)}{(k+1)(k-1)\pi} - \frac{\sin(4k\pi)}{8k\pi} \tag{7}$$

Wykres tej funkcji $P_\text{c}(k)$ przedstawiam na rys. 1.

Rys. 1. $P_\text{c}(k)$ po czasie $kT_1$. Pomocnicza prosta $P_\text{c} = 1$

Przypominam o przyjętej jednakowej fazie początkowej obu przebiegów – jest to tutaj istotne, ponieważ w szczególnym przypadku, przy przeciwnych początkowych fazach, dla $k = 1$ uzyskalibyśmy nie zwiększenie, a wyzerowanie mocy.

Z rys. 1 widzimy, że:

  • Dla $k = 1$ ($T_2 = T_1$) otrzymujemy moc $2\text{ W}$. Można się było tego spodziewać, gdyż mamy zwykłe podwojenie napięcia przebiegu o tej samej częstotliwości. Moc wtedy wzrasta $4$ razy (z $0.5$ do $2\text{ W}$).
  • Dla $k = 1.5, \, 2, \, 2.5, \, 3$ itd. ($T_2$ wzrasta $k$ razy) mamy moc $P_\text{c} = 1\text{ W}$, czyli zwykłą sumę mocy $P_1$ i $P_2$.
  • Dla rzeczywistych $k > 1$ mamy oscylacje $P_\text{c}$ wokół $1\text{ W}$ tym mniejsze, im większy stosunek $T$ lub $f$ obu przebiegów. Jest to oczywiste, gdyż dla takiej wartości $k$ przebieg o mniejszym okresie ($T_1$) nie jest całkowany po całym swym okresie. Wynikające z tego zafalowania zanikają dla wystarczająco małego $T_1$, czyli dużego $T_2$ (wyrażanego poprzez $k$). Praktycznie dla $k > 1.5$ amplituda oscylacji nie przekracza $0.2 \cdot (P_1 + P_2)$.

Można odnieść wrażenie "ginięcia" mocy, lecz jej mniejsza wartość na rys. 1 wynika po prostu z niepobierania jej ze źródła.

Dokonując podobnego całkowania jak (6), ale w granicach od $0$ do $10kT_1$

$$P_\text{c}(k) = \frac{1}{10kT_1} \int_0^{10kT_1} \left[ \sin \left( 2\pi\frac{t}{T_1} \right) + \sin \left( 2\pi\frac{t}{kT_1} \right) \right]^2 \mathrm{d}t \tag{8}$$

wyliczamy $P_\text{c}$ za $10$ okresów $T_2$. Otrzymujemy wtedy funkcję, której przebieg przedstawiam na rys. 2.

Rys. 2. $P_\text{c}(k)$ po czasie $10kT_1$

Zauważamy tutaj wyraźne "zaostrzenie" się zasady superpozycji mocy.

Można też inaczej spojrzeć na problem mocy dwóch przebiegów. Mianowicie zwróćmy uwagę na wyrażenie podlegające całkowaniu we wzorze na $P_\text{c}$. Można je przekształcić do postaci

$$\left[ \sin \left( 2\pi\frac{t}{T_1} \right) + \sin \left( 2\pi\frac{t}{T_2} \right) \right]^2 = \sin \left( 2\pi\frac{t}{T_1} \right)^2 + 2 \sin \left( 2\pi\frac{t}{T_1} \right) \sin \left( 2\pi\frac{t}{T_2} \right) + \sin \left( 2\pi\frac{t}{T_2} \right)^2 \tag{9}$$

Gdyby udało się nam wyeliminować wpływ składnika $2\sin()\sin()$ na wynik całki, mielibyśmy zwykła sumę $P_\text{c} = P_1 + P_2$. Istotnie, składnik ten po scałkowaniu da wartość $0$, jeśli $T_1$ będzie różne od $T_2$ (tutaj pomijam kwestię zafalowania $P_\text{c}$ omówioną powyżej).

Przebieg z rys. 2 przypomina widmo sygnału sinusoidalnego (oś poziomą można wyskalować w częstotliwości $f$). Zachowanie składnika $2\sin()\sin()$ we wzorze (9) leży bowiem u podstaw działania transformacji Fouriera, gdzie jeden z czynników iloczynu (powyżej jest to $\sin()$) jest tzw. jądrem transformacji. W transformacji Fouriera jądrem jest czynnik $\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}$, który pracuje jak wobulator (generator przestrajany).


Historia artykułu
2001: powstanie
2014: korekta po przejściu na Joomla (ostatni stat. HTML)
2023-12-07: dopiski i korekta po przejściu z J3 na J5

© Copyright Krzysztof Kolisz 2001