Przedstawiam analizę wartości modułu impedancji wejściowej |Zwe| linii długiej o impedancji falowej Z0 w zależności od impedancji końcowej Zk linii (np. anteny) oraz jej długości x (rys.1).

impeda1.gif

Rys.1. Schemat zasilania impedancji końcowej Zk przez linię długą [1].

Wyrażenie określające impedancję wejściową układu z rysunku 1 przedstawia się następująco [1]:

impeda3.gif    (1)

gdzie x jest odległością w metrach badanych zacisków wejściowych od końca linii oraz

impeda4.gif    (2)

impeda5.gif    (3)

Wzór (3) przedstawia stałą propagacji w linii długiej. Wyraża ona tłumienie oraz "efekty" fazowe w linii.

Jak widać, linię długą można przedstawić jedynie przy pomocy 4 parametrów:

R - rezystancja jednostkowa [Ω/m],
G - upływność jednostkowa [S/m],
L - indukcyjność jednostkowa [H/m],
C - pojemność jednostkowa [F/m].

A jak ma się wzór (1) do praktyki?

Przede wszystkim warto zauważyć, że przy Zk = Z0 wyrażenie (1) przekształca się do postaci

impeda6.gif    (4)

Zatem impedancja wejściowa układu zależy wtedy jedynie od impedancji falowej linii. Nie zależy natomiast od takich czynników jak długość linii, jej tłumienia, "jakości kabla" itd. Jak się dalej okaże, równość jedynie modułów |Zk| = |Z0| nie jest wystarczającym warunkiem na uzyskanie równości (4) - może to być jedna z przyczyn "wojny" pomiędzy zwolennikami i przeciwnikami "przycinania kabla".

Linia bezstratna

W dalszych rozważaniach zakładam przykładową częstotliwość sygnału 30 MHz. Przyjmuję hipotetyczny kabel o parametrach:

R = 0 Ω/m; L = 250 nH/m; G = 0 S/m i C = 100 pF/m

Mamy więc bezstratny kabel o Z0 = 50 Ω i typowych wartościach L i C.

Po obciążeniu go impedancją Zk = 50 Ω otrzymujemy następujący przebieg |Zwe(x)|:

impeda7.gif

Rys.2. |Zwe(x)| przy Zk = Z0 = 50 Ω przy zerowych stratach w linii (R = 0 Ω/m; L = 250 nH/m; G = 0 S/m i C = 100 pF/m).

Zgodnie z wcześniejszym spostrzeżeniem otrzymaliśmy stałą wartość impedancji wejściowej. Naruszmy teraz warunek Zk = Z0. Niech np. będzie Zk = 100 Ω (rys.3).

impeda8.gif

Rys.3. |Zwe(x)| przy Zk = 100 Ω. Parametry linii: bezstratna, Z0 = 50 Ω; R = 0 Ω/m; L = 250 nH/m; G = 0 S/m i C = 100 pF/m.

Oczywiście przy zerowej odległości zacisków wejściowych od końca linii (x = 0) otrzymujemy łatwą do przewidzenia wartość Zwe = Zk = 100 Ω. Przy zwiększaniu x zmniejsza się |Zwe|. Podobnie zachowuje się linia długa rozwarta na końcu - również mamy zmniejszanie się |Zwe|. Przy dalszym zwiększaniu x mamy oscylacje |Zwe| co pół fali w przewodzie, które pozwalają na wyznaczenie wsp. skrócenia (ok. 0,68). Zasadniczym spostrzeżeniem są granice tych oscylacji - wg. rysunku 3 są to wartości impedancji od 25 do 100 Ω. A więc w tym przypadku mamy zachowany warunek

impeda10.gif    (5)

Czyli wskazanie umieszczonego na wejściu linii reflektometra nigdy nie przekroczy wartości rzeczywistego SWR.

Przy obciążeniu przewodu czystą rezystancją dobierając długość przewodu możemy tylko poprawić sytuację, czyli przybliżyć Zwe do Z0, a więc zmniejszyć wartość "fikcyjnego SWR" zmierzonego przy nadajniku.

Podkreślam, że aspekt zmiany długości przewodu dotyczy jedynie Zwe względnie |Zwe|, bo rzeczywisty SWR występujący w bezstratnej linii długiej zależy tylko od stosunku Zk / Z0 (na rys.3 jest w każdym punkcie linii SWR = 2).

Zobaczmy co się stanie, jeśli zwiększę Zk do wartości np. 500 Ω (rys.4).

impeda11.gif

Rys.4. |Zwe(x)| przy Zk = 500 Ω. Parametry linii: bezstratna, Z0 = 50 Ω; R = 0 Ω/m; L = 250 nH/m; G = 0 S/m i C = 100 pF/m.

W celu dokładniejszego sprawdzenia minimalnych wartości |Zwe| powiększam pierwsze minimum:

impeda12.gif

Rys.5. |Zwe(x)| przy Zk = 500 Ω - powiększenie fragmentu rys.4. Parametry linii: bezstratna, Z0 = 50 Ω; R = 0 Ω/m; L = 250 nH/m; G = 0 S/m i C = 100 pF/m.

Otrzymaliśmy zakres oscylacji |Zwe| od 5 do 500 Ω. Potwierdza się zatem wyrażenie (5). Teraz zmniejszam Zk do 25 Ω:

impeda13.gif

Rys.6. |Zwe(x)| przy Zk = 25 Ω. Parametry linii: bezstratna, Z0 = 50 Ω; R = 0 Ω/m; L = 250 nH/m; G = 0 S/m i C = 100 pF/m.

Tu również granice oscylacji |Zwe| to 25 ÷ 100 Ω i potwierdza się (5).

Dotychczas przyjmowałem R = 0 i G = 0, czyli przypadek linii bezstratnej. Przyjęte wartości R i G powodowały, że impedancja falowa linii długiej miała charakter wyłącznie rezystancyjny (bez składowej urojonej). Jako Zk przyjmowałem również czystą rezystancję. Zatem równość |Zk| = |Z0| była równoważna ogólnej Zk = Z0, która w prosty sposób wyjaśniała wykres linii prostej na rysunku 2.

Przyjmijmy teraz na przykład Zk = 30 + j40 Ω, co jest przy 30 MHz równoważne szeregowemu połączeniu Rk = 30 Ω i Lk = 212 nH. W dalszym ciągu mamy |Zk| = 50 Ω, czyli spełniony warunek |Zk| = |Z0|. Niestety nie jest spełniona równość Zk = Z0, zatem o linii prostej mowy być nie może (rys.7).

impeda14.gif

Rys.7. |Zwe(x)| przy Zk = 30 + j40 Ω, |Zk| = Z0 = 50 Ω, ale Zk ≠ Z0, przy zerowych stratach w linii (R = 0 Ω/m; L = 250 nH/m; G = 0 S/m i C = 100 pF/m).

Mamy tu SWR ok. 3. Podobny jak na rys.7 przypadek wystąpi przy nierezystancyjnym charakterze Z0 i rezystancyjnym Zk.

Z dotychczasowych symulacji wynika, że w praktyce niedopasowanie argumentów jest bardziej niepożądane od niedopasowania modułów, gdyż trudniej jest je kontrolować, a skutki mogą być jednakowo opłakane ;) W szczególności nie zalecam załączania na końcu linii długiej kondensatora o |XC| = |Z0|, bo wtedy przy urojonym obciążeniu zawsze będzie SWR → ∞ (odbicie fali w 100%).

Jednak jak dalej pokażę, strojenie anteny polega właśnie na realizacji równości Zk = Z0 (jednoczesne dopasowanie argumentów i modułów).

Trzeba zaznaczyć, że warunek Z0 = R0 występuje zawsze w linii bezstratnej. Dla linii tej

impeda16.gif    (6)

Dla stratnej warunek Z0 = R0 ma miejsce przy

impeda15.gif    (7)

W obydwu powyższych przypadkach mamy do czynienia z tzw. linią nie zniekształcającą zdolną do wiernego przenoszenia sygnałów impulsowych np. danych cyfrowych. W celu osiągnięcia (7), często stosuje się sztuczne zwiększenie jednostkowej L, a czynność ta nosi nazwę pupinizacji linii (nie dotyczy omawianej tu techniki antenowej). Jednak dalej pokażę, że przy dostatecznie małych wartościach R i G, zależność (7) nie musi być spełniona.

Linia stratna

Wprowadźmy teraz tłumienie linii równe

4,3 dB/100m

Przy założeniu linii nie zniekształcającej (Z0 = R0) daje to

R = 250 mΩ/m; G = 100 μS/m

Po obciążeniu takiej linii Zk = Z0 otrzymamy jako przebieg linię prostą |Zwe(x)| = Z0.

Ciekawy przypadek wystąpi w linii stratnej dla Zk różnego od Z0. Przykładowo Zk = 100 Ω (rys.8, na którym widoczne są niewielkie błędy wykreślenia spowodowane za dużą iteracją).

impeda17.gif

Rys.8. |Zwe(x)| przy Zk = 100 Ω. Parametry linii: Z0 = 50 Ω, stratna 4,3 dB/100m (R = 250 mΩ/m; L = 250 nH/m; G = 100 μS/m i C = 100 pF/m). Widoczne niewielkie błędy wykreślenia przebiegu.

Potwierdza to znany w literaturze fakt stabilizacji Zwe(x) linii długiej wraz ze zwiększeniem się jej tłumienności. Dla linii stratnej mamy też uzależnienie SWR(x) (zmienna obwiednia z rys.8), który maleje wraz ze wzrostem tłumienia oraz x. W istocie, SWR zależy od stosunku fali odbitej do padającej (tzw. współczynnika odbicia), a ten dla linii stratnej jest różny w różnych punktach linii [1].

Wydaje się, że w praktyce korzyść z występowania tłumienia linii jest pozorna, gdyż tracimy też moc. Zatem w dalszym ciągu kluczowy jest SWR w punkcie x = 0 (lub dowolnym x dla linii bezstratnej).

Sprawdźmy jeszcze jaki wpływ na |Zwe| w linii stratnej ma załączenie wymienionej wyżej Zk = 30 + j40 Ω (|Zk| = Z0 = 50 Ω) - rys.9.

impeda18.gif

Rys.9. |Zwe(x)| przy Zk = 30 + j40 Ω (|Zk| = Z0). Parametry linii: Z0 = 50 Ω, stratna 4,3 dB/100m (R = 250 mΩ/m; L = 250 nH/m; G = 100 μS/m i C = 100 pF/m).

Tu również większe tłumienie i długość linii ma korzystny wpływ na stabilizację |Zwe| (zmniejszenie się SWR).

Wnioski ogólne

Podsumowując rygorystyczny wymóg Zk = Z0 (nie wystarczy równość modułów tych impedancji) należy zauważyć, że:

  • Impedancja anteny w rezonansie zawsze ma charakter rezystancji, gdyż pojęcie rezonansu z definicji wiąże się z wzajemną kompensacją wartości XL i XC.
  • Impedancja falowa np. przewodów koncentrycznych w interesującym nas paśmie również ma charakter rezystancji.

Dla uzasadnienia drugiego z powyższych punktów wystarczy przeanalizować wyrażenie (2), które jeszcze raz przytaczam

impeda4.gif

Przy częstotliwości np. 30 MHz przybiera ono postać

impeda19.gif

Czyli (6), co powoduje w praktyce nieistotność (7). Zatem nie musiałem przyjmować odpowiedniego stosunku R / G, by uzyskać Z0 = R0 i prawdopodobnie fabryki kabli też o ten stosunek nie dbają. Wynika to z faktu, że wartości R i G są przeważnie dużo mniejsze od odpowiednich XL i BC. Dla wyższych częstotliwości (do pewnej granicy na UKF-ie) powyższe przybliżenie staje się jeszcze bardziej dokładne, a więc charakter Z0 jest w większym stopniu czystą rezystancją.

Ostatecznie otrzymujemy zasadę, że przy spełnieniu w najlepszym razie tylko równości |Zk| = |Z0|, może być konieczny dobór długości przewodu antenowego. Jeśli jednak zrealizujemy mocniejszą równość Zk = Z0, co jest spełnione przy dodatkowym wystąpieniu rezonansu anteny - długość kabla nie ma wpływu na impedancję wejściową całego systemu antenowego.

Podsumowanie

Praktyka "przycinania kabla" wynika z niedopasowania na styku kabel-antena. Dobierając długość kabla (skracanie lub wydłużanie) możemy z punktu widzenia nadajnika dla jednej częstotliwości znacznie zniwelować to niedopasowanie. Nie wpływamy jednak tym zabiegiem na wielkość SWR, a jedynie na Zwe systemu antenowego widzianego przez nadajnik.

© Copyright Krzysztof Kolisz SQ8IJZ 2002

Literatura:

[1] "Poradnik radio- i teleelektryka. Elementy i podzespoły", Witold Rosiński w pracy zbiorowej pod redakcją Jerzego Antoniewicza, PWT Warszawa 1959.